Il principio di equivalenza di Einstein

L’esempio della navicella offre informazioni molto più profonde. Se durante il viaggio aveste un orologio di estrema precisione, potreste osservare che il tempo T sulla navicella scorre diversamente in funzione dell’"altezza" S a cui ci troviamo rispetto la base.

In particolare, più saliamo in altezza, più il tempo scorre velocemente, secondo la formula:

Il motivo è semplice ma decisamente controintuitivo. La nostra intuizione ci direbbe che per mantenere una distanza costante fra due oggetti accelerati in una certa direzione (nello specifico due componenti in “altezza” della navicella) sia necessario che siano soggetti alla stessa accelerazione. Ma l’intuizione ci inganna ed ha confuso anche diversi ricercatori nel corso degli anni, dando luogo al cosiddetto Paradosso dell’astronave di Bell. In realtà, non c’è alcun paradosso: piuttosto, gli effetti relativistici sono infinitesimi alle scale a cui siamo abituati e siamo in grado di percepire, quindi affidarci alla nostra intuizione è sbagliato.

In generale, se prendiamo in considerazione come sistema di riferimento la base della navicella e assumiamo sia soggetta ad una accelerazione costante A, possiamo calcolare l’accelerazione α(S) a distanza (altezza) S, che risulta:

Ovvero, per mantenere la stessa distanza dalla base, i componenti in altezza della navicella devono man mano ridurre la loro accelerazione, in base all’equazione appena mostrata. Ed è proprio questa riduzione di accelerazione rispetto alla base a far scorrere il tempo più velocemente. Controintuitivo, ma vero!

E c’è un aspetto ancora più importante. In base al principio di equivalenza formulato da Albert Einstein, base fondante della Relatività Generale (vedi Muñoz and Jones 2010), la semplice equazione che misura il tempo a diversa altezza sulla navicella è anche una eccellente stima delle differenze di tempo che potreste riscontrare salendo in altezza, in una qualsiasi abitazione (ad esempio a casa vostra) o anche tra mare e montagna sulla Terra.

Avete capito bene, il tempo al piano di sopra scorre più velocemente, così come quello in montagna rispetto al mare. A distanza di oltre 100 anni dalla sua formulazione, il principio è stato verificato sperimentalmente con l’incredibile precisione di una parte su un milione di miliardi!

Facciamo un calcolo concreto

Ipotizzando una differenza di altezza di S = 10 metri, ovvero

anni luce, ad ogni intervallo temporale unitario trascorso per chi si trova alla base, corrisponde un intervallo di tempo in cima pari a:

La differenza di tempo è relativa, ovvero non dipende dall’unità di misura scelta per il tempo (comunque convenzionale). Io ho usato l'anno luce semplicemente perché più comodo (avevamo già calcolato A=1.03 come incremento di velocità per anno luce nel precedente articolo).

Questa differenza è impossibile da rilevare con i normali orologi (dovrebbero avere precisione di un milionesimo di miliardesimo di secondo), figuriamoci con i nostri sensi.

Grazie all’accresciuta precisione degli orologi atomici siamo però riusciti a confermare con estrema accuratezza la validità di queste relazioni per velocità relative inferiori a 10 metri al secondo (36 km all’ora) e per differenze di altezza di meno di un metro, rispettivamente (Chou et al. 2010).

Più recentemente, siamo stati addirittura in grado di misurare differenze di tempo per altezze su scala millimetrica (Bothwell et al. 2022).

Inconsciamente, siamo noi stessi testimoni della validità della teoria della Relatività Generale, ogni volta che usiamo la geolocalizzazione sui nostri smartphone e vediamo che questa funziona ed è precisa. Gli orologi sui satelliti sono sia in movimento che ad un’altezza significativa da terra, per cui vengono eseguite correzioni che tengono conto delle differenti misure del tempo a terra e sul satellite proprio applicando la teoria di Einstein. In particolare, la frequenza di oscillazione degli orologi atomici presenti sui satelliti viene ridotta di circa mezza parte su un miliardo, prima mandarli in orbita (vedi equazione 36 in Ashby 2003).

Senza questa correzione, lo sfasamento nelle misure di tempo fra satelliti e Terra porterebbe ad errori di geolocalizzazione di chilometri in una sola giornata (rendendo di fatto inutili i satelliti).